تمرین ۳ اثبات روابط مثلثاتی زاویه دو برابر حسابان یازدهم
با استفاده از روابط نسبت‌های مجموع دو زاویه نشان دهید که:
الف) $\sin ۲\alpha = ۲\sin \alpha \cos \alpha$
ب) $\cos ۲\alpha = \cos^۲ \alpha - \sin^۲ \alpha$
پ) $\cos ۲\alpha = ۲\cos^۲ \alpha - ۱$
ت) $\cos ۲\alpha = ۱ - ۲\sin^۲ \alpha$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۱۱۲ حسابان یازدهم
سلام! این اثبات‌ها، مبنای فرمول‌های **زاویه دو برابر (Double Angle)** هستند. ما $\mathbf{۲\alpha}$ را به صورت $\mathbf{\alpha + \alpha}$ نوشته و از فرمول‌های مجموع زوایا استفاده می‌کنیم. 🎯
---
### الف) اثبات $\sin ۲\alpha = ۲\sin \alpha \cos \alpha$
از فرمول $\mathbf{\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}$ با $\mathbf{\beta = \alpha}$ استفاده می‌کنیم:
$$\sin ۲\alpha = \sin(\alpha + \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha$$
$$\mathbf{\sin ۲\alpha = ۲\sin \alpha \cos \alpha}$$
---
### ب) اثبات $\cos ۲\alpha = \cos^۲ \alpha - \sin^۲ \alpha$
از فرمول $\mathbf{\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}$ با $\mathbf{\beta = \alpha}$ استفاده می‌کنیم:
$$\cos ۲\alpha = \cos(\alpha + \alpha) = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha$$
$$\mathbf{\cos ۲\alpha = \cos^۲ \alpha - \sin^۲ \alpha}$$
---
### پ) اثبات $\cos ۲\alpha = ۲\cos^۲ \alpha - ۱$
از نتیجه قسمت (ب) ($\mathbf{\cos ۲\alpha = \cos^۲ \alpha - \sin^۲ \alpha}$) و **رابطه طلایی مثلثات** ($\mathbf{\sin^۲ \alpha = ۱ - \cos^۲ \alpha}$) استفاده می‌کنیم:
$$\cos ۲\alpha = \cos^۲ \alpha - (۱ - \cos^۲ \alpha)$$
$$\cos ۲\alpha = \cos^۲ \alpha - ۱ + \cos^۲ \alpha$$
$$\mathbf{\cos ۲\alpha = ۲\cos^۲ \alpha - ۱}$$
---
### ت) اثبات $\cos ۲\alpha = ۱ - ۲\sin^۲ \alpha$
از نتیجه قسمت (ب) ($\mathbf{\cos ۲\alpha = \cos^۲ \alpha - \sin^۲ \alpha}$) و **رابطه طلایی مثلثات** ($\mathbf{\cos^۲ \alpha = ۱ - \sin^۲ \alpha}$) استفاده می‌کنیم:
$$\cos ۲\alpha = (۱ - \sin^۲ \alpha) - \sin^۲ \alpha$$
$$\mathbf{\cos ۲\alpha = ۱ - ۲\sin^۲ \alpha}$$
